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给我们一个序列, 让我们求其逆序数:
如3 2 1 4
逆序数为: 2+1+0+0=3
我们这样定义一个序列的逆序数: 序列a1 a2 a3 a2 ...an
这个序列的逆序数C, 等于a1,a2...的逆序数的和.即 C=sum(Ci)
Ci为满足ai > aj (j > i)的数的总的个数, 即Ci = sum(ai > aj) (j >i).
我们一般写的算法一般会做N(N-1)/2次比较, 时间复杂度为: O(N^2).
下面采用的分而治之的思想来改进:
假设我们将序列a1 a2 a3 a2 ...an分成两份: B0=(a1 a2 an/2) B1 = (a (n/2+1)...an)
那么C=C(B0)+C(B1)+M(B0B1)
如果我们直接去计算M(B0B1), f(n) = 2*f(n/2)+c*n^2, 计算出来的结果是f(n)=n*f(1) + 2c*n^2 - 2c*n, 那么效率依然是O(N^2), 我们通过什么方式改进呢?
那假如让B0,B1有序就好了! 嗯,对的. 我们在归并排序的过程先将B0,B1排成有序数列,再来求B0′B1′的逆序数, 这时求M(B0′B1′)效率就是O(N).
即,C=C(B0′) + C(B1′) + M(B0′B1′).
下面给出求C(B0′B1′)的代码, 你在下面的完整的求逆序数的算法中也可以找到:
int i = x, j = m; //序列B0[x,y], B1[m, n] for(i = x; i <= y; ++i) { while(j <= n && arr[i] > arr[j]) ++j; nOrder += j-m; } int i = x, j = m; //序列B0[x,y], B1[m, n] for(i = x; i <= y; ++i) { while(j <= n && arr[i] > arr[j]) ++j; nOrder += j-m; }
这时f(n) = 2*f(n/2)+c*n, 我计算出来的结果是f(n) = n*f(1) + c*n*log(n)
时间复杂度O(N*logN)和空间复杂度O(N)都和归并算法一致, 只比比归并算法大了一个常数因子.
欢迎抛砖.
#include#include using namespace std; void swap(int *arr, int i, int j) { int tmp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = tmp; } int merge(int* temp, int *arr, int x, int y, int m, int n) { int nOrder = 0; int i = x, j = m; for(i = x; i <= y; ++i) { while(j <= n && arr[i] > arr[j]) //因为要合并的两个数组是有序的 ++j; nOrder += j-m; } int k = 0; i = x, j = m; while(i <= y && j <= n) { if(arr[i] <= arr[j]) temp[k++] = arr[i++]; else temp[k++] = arr[j++]; } while(i <= y) temp[k++] = arr[i++]; while(j <= n) temp[k++] = arr[j++]; return nOrder; } int inversion_number(int *arr, int i, int j) { if(i < j) { int mid = i+((j-i)>>1); int v1 = inversion_number(arr, i, mid); int v2 = inversion_number(arr, mid+1, j); int temp[10]; int nValue = merge(temp, arr, i, mid, mid+1, j); memcpy(arr+i, temp, sizeof(int)*(j-i+1)); return v1+v2+nValue; } else return 0; } int main() { int arr[] = {5,3,3,3,3,3,3,3,3,3}; cout << inversion_number(arr, 0, 9) << endl; return 0; }
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